Карташева Г. Д.: Развитие математической интуиции в процессе обучения в школе

Для жизни в современном обществе важным является формирование математического стиля мышления, проявляющегося в определенных умственных навыках. Этот процесс является важнейшей стороной развития интеллектуального личности. Среди компонентов математического мышления одним из основных является интуитивное мышление. Интуиция занимает важное место в процессе познания любой науки, а математики в особенности. Постижение математических истин порой происходит в виде длительного мыслительного процесса без опоры на конкретное видение.

Интуиция – это «особый способ познания, характеризующийся непосредственным постижением истины». Но такое толкование понятия интуиции страдает некоторой однородностью. При изучении школьного курса математики интуиция проявляет себя и как форма, и как метод, и как средство познания.

Интуицию можно охарактеризовать как форму познания, осуществляемую на основе подсознательной переработки учащимися полученной ими информации. Поэтому она является специфической формой мыслительной деятельности. Некоторые исследования (Д. Майбурова, В.Хоров) различают несколько видов интуиции как формы математического познания: чувственную интуицию, интеллектуальную интуицию и догадку. Существуют четыре формы движения познания в учебном процессе:

• от одних чувственных образов к другим (чувственное познание);
• от одних понятий к другим (логическое познание);
• от образов к понятиям (взаимодействие чувственного и логического понятия);
• от понятия к образам (взаимодействие логического и чувственного познания).

Третья и четвертая формы относятся к интуитивному познанию. Истинное понимание предмета, позволяющее эффективно применить приобретенные знания, невозможно без развития интуиции, этого трудно определимого чутья, способствующего правильной ориентировке в понятиях, фактах, методах. Какая работа мысли идет, если нет конкретного образа, есть лишь внутреннее чутье? Используя аналогию с воздвижением здания, можно сказать, что работа начинается с архитектурного изображения – проекта, мотивирующего к действию. Мысль высвобождает энергию, обеспечивая основу для принятия решений, задает параметры планомерного поиска возможностей получения результата. А.Пуанкаре писал, что логика не может дать нам представления о науке в целом – это должна дать интуиция. Сказанное относится и к любому сколько-нибудь значительному  разделу науки. Без развития  интуиции знания оказываются  формальными, носящими информационно-справочный характер, а не внутренними, присущими созданию обучаемого.

С точки зрения философии интуиция – пристальное всматривание. В истории философии  понятие интуиции включало чрезвычайно многообразное и разноречивое содержание. Так инструкцию рассматривают как чувственную форму познания-ощущения и восприятия, которые противопоставляются рассудку и мышлению, но которые, как это обнаруживает  диалектический метод, отнюдь не лишены элементов рассудка, ибо иначе они не были бы средствами познания.

В истории математики большую роль сыграло понятие рациональной интуиции, в которой нет никакой грубой чувственности, но зато есть и никакой мистической нагрузки. Таковы все, например, геометрические образы. Такая разумная интуиция является основанием вполне здравого, точного, очевидного и максимального научного знания и мышления.

Интуицию рассматривали как учение рационалистов, находящих  непосредственное  знания в самих операциях рассудка или разума – так называемая  интеллектуальная интуиция. Декарт в «Правилах для руководства ума» писал: «Под интуицией я разумею не веру в шаткое свидетельство чувств и не обманчивое суждение беспорядочного воображения, но понятие ясного и внимательного ума, настолько простое и отчётливое, что оно не оставляет никакого сомнения в том, что мы мыслим, или, что одно и тоже прочное понятие ясного и внимательного ума, порождаемое лишь естественным светом разума и благодаря своей простоте  более достоверное, чем сама дедукция…».

Спиноза говорит об интуитивном знании: «Этот род познания ведёт от адекватной идеи о формальной сущности каких-либо атрибутов бога к адекватному познанию сущности вещей».

Лейбниц в своей работе «Новые опыты о человеческом разуме» отмечал: «В такой интеллектуальной интуиции совершенно нет ничего сверхъестественного или необычного. Просматривая таблицу умножения, без труда можно заметить, что она составлена на основе примитивного и вполне непосредственного присоединения одной страницы к другой. Точно также во всяком умозаключении мы были бы вполне беспомощны, если в этой, с виду только рассудочной операции, не опирались бы на самую обыкновенную интуицию…»

В то же время нигде и никогда не существует интуиции в чистом и изолированном виде. Всякий интуитивно данный предмет требует определения, т.е. познается не только интуитивно и непосредственно, но и анализируется рассудком. При этом знание  выступает здесь как опосредствующее звено в виде накопленного опыта.

Психологи утверждают, что видение образа, результата решения  какой-либо проблемы создается из интуиции (мышление правым полушарием мозга – как творческого, интуитивного и инстинктивного) и логического анализа (работа левого полушария – как линейного, аналитического, систематического и осознанного процесса).

Математическая интуиция – как способность быстро находить верное решение, ориентироваться в ситуациях, созданных заданной проблемой, а также предвидеть результат, часто считается индивидуальной особенностью, приобретенной человеком от рождения. Таким образом, встает вопрос о том, что можно ли в процессе обучения и воспитания развить её. Проблема генетических источников психологии и поведения человека является одной из важнейших в психологической и педагогической науках, поскольку от её правильного решения зависит принципиальное решение вопроса о возможностях обучения и воспитания детей. По современным данным напрямую воздействовать через обучение и воспитание на качества, полученные человеком в наследство практически невозможно, и, следовательно, то, что задано генетически, перевоспитанию не подлежит. С другой стороны, обучение и воспитание сами по себе обладают огромными возможностями в плане психического развития индивида.

«Согласно современной генетике, – И. В. Равич – Щербо, – наследуется не конкретное значение признака, а некоторая способность иметь данный признак, и уже на основе этой наследственно обусловленной нормы реакции, во взаимодействии генотипа и среды формируются признаки или совокупность свойств, возникших под влиянием обучения и воспитания».

Таким образом, интеллектуальные способности человека можно совершенствовать. В нашей стране наиболее широкое практическое применение в обучении мыслительным действиям получила теория формирования и развития интеллектуальных операций, разработанная П. Л. Гальпериным.

П. Л. Гальперин внес в соответствующую область исследований новые идеи. Им была разработана теория формирования умственных действий. Эта теория явилась обобщением и дальнейшим развитием учения о происхождении психологических процессов и внутренних состояний из внешней деятельности, т.е. обобщением и развитием вопроса, над которым работал А. Валлон, Ж. Пиаже, Л. С. Выготский, А. Н. Леонтьев.

Важнейшей особенностью психологического механизма человеческого интеллекта является наличие в нём внутреннего плана действий. Именно на его становление и развитие следует обратить внимание, так как твой внутренний план в дальнейшем помогает образованию внутренней речи как основного средства организации мышления и регуляции других познавательных процессов, значит и развитию математической интуиции, как рода познания.

Математика – это наука, достаточно сложная для учащихся. Поэтому нельзя упустить ни одну из возможностей для улучшения качества обучения этому предмету, развития компонентов математической культуры.

А. Д. Кудрявцев писал, что и знания, и интуиция являются основными компонентами математической культуры. А американский математик М. Клайн на анализе исторического материала показал большую роль интуиции в познании математических истин, в творческой деятельности ученых математиков. Все выше сказанное убеждает в том, что формированию интуитивного метода рассуждения необходимо уделить особое внимание. Возможности здесь заключены в специальной ориентировке в работе. При этом можно выделить несколько положений относящихся к развитию интуиции.

Интуиция, предшествующая знанию

Такая интуиция проявляется при непосредственном видении различных математических понятий и фактов без сторонних формальных определений и дедуктивных выводов. За крайне редкими исключениями, учащиеся могут понять строгое определение только после его усвоения на интуитивном уровне. При этом необходимо проводить специальную работу по развитию интуитивного «предзнания» задолго до введения понятий и фактов. С этой целью следует по возможности раньше употреблять соответствующие термины: линия, фигура, тело, длина, площадь, объем. Занятие геометрией особо способствует развитию интуиции, воображения и других важнейших качеств, лежащих в основе творческого процесса. Одним из первых геометрических понятий, с которым ознакомятся ученики пятого класса, является понятие отрезка. В начальных классах были получены первоначальные наглядные представления об отрезке, причем это понятие, в основном, использовалось в качестве иллюстрации для основного арифметического материала. В пятом классе понятие отрезка должно быть закреплено. При этом осуществляется косвенное влияние интуиции на понимание того, что длина отрезка является наименьшей среди длин всех линий, соединяющих концы этого отрезка.

Можно, не приводя иллюстрации, задать вопрос: «Если мы соединим две точки не только отрезком, но и другими линиями (например, кривыми, ломаными), то какая из этих линий будет иметь наименьшую длину?» В поисках ответа учащиеся будут использовать свое геометрическое воображение, а затем проверять свои выводы простейшими построениями. А, соединив интуитивный и игровой моменты, можно предложить такое задание: «Отметьте в тетради две точки А и В и проведите через них две линии: кривую и прямую. Представьте, что это дороги, соединяющие два домика. По какой из них вы бы пошли, если бы хотели добраться от одного домика до другого как можно быстрее?» При любой постановке вопроса ответ будет верным. Еще несколько интересных заданий, соответствующих начальному этапу изучения геометрии.

1. В каких единицах вы будете измерять длину своего шага, периметр школьного участка, расстояние до Луны?
2. Какой линией ограничена траектория, на которой коза, привязанная на лугу к колышку, сможет cъесть траву?
3. Что больше: диагональ квадрата или его сторона?

Над такими задачами дети работают с интересом.

Интуиция, проявляющаяся в результате полученных знаний

Такого рода интуитивное знание развивается при разборе конкретных ситуаций – примеров, задач, картинок. Такой разбор следует сопровождать краткими формулировками основных понятий, фактов, идей, чтобы направление поиска учащихся было верным. Вот примеры такого рода разборов:

1. Сколько уравнений необходимо составить для конкретной задачи?
2. Какое число получится, если мы будем делить  единицу на очень большое число?
3. Верно ли для пространства утверждение, что две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны?

Ориентируясь на развитие интуитивного знания, следует постоянно раскрывать «грубый смысл» обсуждаемых основных понятий. Примером является обсуждение понятия функции. В течение двух лет в старшей школе проводится проверочная работа, уточняющая, какими представлениями учащиеся оперируют, если они обходятся без строгого определения понятия функции. Особое внимание уделяется тем, кто не знает определения, но успешно использует понятие функции, области ее определения. Таким образом, была выделена группа учащихся, у которых сформулировано интуитивное представление о функции вместо логического. При достаточной нечеткости ответов приблизительно 70% учащихся определяют зависимость одной величины от другой. Можно сделать вывод, что необходима правильная отработка этих понятий для успешного освоения строгого определения.

Но иногда достаточны даже не совсем логически строгие интуитивные представления о некоторых понятиях.

Именно интуитивные представления, в конечном счете, и остаются в памяти, они в большей мере определяют математическое развитие учащихся, способность к применению математики на практике. Для получения наилучших результатов в процессе формирования понятий должно быть найдено дидактически целесообразное соотношение в них интуиции и логики.

Интуиция при решении задачи

Развитая математическая интуиция может существенно помочь при анализе поставленной задачи. Это прежде всего относится к выбору метода её решения. При изучении определённых вопросов метод решения бывает предопределён. Но уже при анализе задач геометрического содержания учащиеся должны видеть способы решения, при которых требуется составить уравнение, т.е. уже происходит некоторый выбор. Необходимо время  от времени  рассматривать задачи, которые не относятся к текущему материалу или требующие для своего решения соображений из различных разделов курса.

Рассматривая положение об интуиции в оценке ситуации, отмечалось, что при анализе задачи на интуитивном уровне надо получить как можно больше информации об ожидаемом результате. Особенно сильное эмоциональное впечатление производят случаи, когда при таком анализе удаётся найти решение «на основе здравого смысла» без составления  уравнения, при этом возникающее прозрение по существу является открытием. При решении задач с помощью уравнений незаменимую роль играет рисунок или игровая ситуация.

Задача:

Мальчик и девочка собирали в лесу орехи. Всего они сорвали 120 штук. Мальчик сорвал в два раза больше орехов, чем девочка. Сколько орехов было у мальчика, а сколько у девочки?

Играя, учащиеся придумывают различные ситуации. Например, мальчик сорвал в 2 раза больше орехов, так как у него было 2 корзинки, а у девочки только одна.

После такого рассуждения ответ получают сразу. Рисунок при решении задачи может быть наипростейшим. На уроках мы называем его «упор для глаза и мысли». Для задач на движение – отрезок. Для задач с другими компонентами могут быть квадраты, прямоугольники, кружочки, символизирующие происходящее в задаче. Такого простейшего рисунка бывает достаточно, чтобы уравнение было составлено правильно. В шестом или седьмом классе учащиеся решают задачи с такой иллюстрацией.

Анализ работы за два года показал, что 80% учащихся на контрольных работах при решении задач с помощью уравнений составляют уравнения правильно.

Анализ задачи должен быть эмоциональным. Важно поощрять высказывание новых идей и мнений, заставлять учащихся чувствовать себя участниками событий (если это позволяет текст), предлагаемых задач.

Следует отметить, что есть еще несколько сфер, где очень важна интуиция учащегося. Это, прежде всего, анализ ответа, исследование графиков функций, решение стереометрических задач, а также интуитивная оценка ситуации и интуитивная прикидка, работа с которой приводит к возникновению у учащихся потребности представлять реальные результаты, находить ответы к задачам более сознательно. В нашей следующей работе мы рассмотрим эти вопросы более подробно.

Учитель математики Карташева Г. Д.

Наша частная школа – переход на главную страницу